Nove Capítulos da Arte Matemática
Jiuzhang suanshu 九章算術
Os 'Nove Capítulos' influenciaram toda a matemática chinesa, tendo sido utilizado como manual de ensino, não apenas na China, mas também nos países e regiões circundantes, até a ciência Ocidental ter se introduzido no Oriente, por volta de 1600.
O livro é de autor desconhecido, como era comum na antiga China. Contém 246 problemas e está dividido em 9 capítulos. Para cada problema é dada uma resposta sem que seja fornecido o método utilizado para o resolver. Maior parte destes são problemas práticos do dia-a-dia.
Alguns destes problemas datam da Dinastia Qin (221 - 201 a.C.), mas foram, ao que tudo indica, recompilados por Zhang Cang (256? - 152 a.C).
[Trad. Maria João Lagarto. Original]
Capítulo I - Medição de Terrenos (Fang tian)
Este capítulo contém 38 problemas, 24 dos quais respeitantes às áreas de terrenos de cultivo. Fang é a unidade de medida de área e tian significa "campo".
• Problemas relativos às áreas de terrenos com a forma de diferentes figuras geométricas:
Problemas 1 a 4, 19 a 24
Áreas de rectângulos
Problemas 25 e 26
Áreas de triângulos
Problemas 27 a 30
Áreas de trapézios
Problemas 31 e 32
Áreas de figuras curvilíneas e círculos
Problemas 33 e 34 Áreas de figuras de campo em forma de concha
Problemas 35 e 36 Áreas de segmentos circulares
Problemas 37 e 38
Áreas de coroas circulares
• Questões relacionadas com fracções:
Problemas 5 e 6 Redução de fracções
Problema 7 a 9 Adição de fracções
Problema 10 a 14 Subtracção de fracções
Problemas 15 e 16 Meia aritmética
Problemas 17 e 18
Divisão de fracções
Problemas 19 a 24
Multiplicação de fracções
Capítulo I - Medição de Terrenos (Fang tian)
Problemas relativos a áreas de terrenos de cultivo e cálculos com fracções:
Problema 1
Dado um terreno de 15 bu de largura e 16 bu de comprimento. Diz: quanto de terreno?
Solução: 1 mu
Problema 2
Dado um terreno de 12 bu de largura e 14 bu de comprimento. Diz: quanto de terreno?
Solução: 168 bu quadrados
Problema 3
Agora dado um terreno, 1 li de largura e 1 li de comprimento. Diz: quanto de terreno?
Solução: 3 qing 75 mu
Problema 4
Dado um outro terreno, 2 li de largura e 3 li de comprimento. Diz: quanto de terreno?
Solução: 22 qing 50 mu
Problema 17
Dadas 7 pessoas partilhando 8 1/3moedas. Diz: quanto é que cada pessoa recebe?
Solução: Cada um fica com 1 4/21
Problema 19
Agora dado um terreno, 4/7 bu de largura e 3/5 bu de comprimento. Diz: qual é a área?
Solução: 12/34 bu quadrados
Problema 24
Dado um outro terreno, 18 5/7 bu de largura e 23 6/11 bu de comprimento. Diz: qual é a área?
Solução: 1 mu 200 7/11 bu quadrados
Problema 25
Agora dado um terreno triangular, com base 12 bu e altura 21 bu . Diz: qual é a área?
Solução: 126 bu quadrados
Problema 26
Dado um outro terreno triangular, com base 5 1/2 bu e altura 8 2/3 bu . Diz: qual é a área?
Solução: 23 5/6 bu quadrados
Regra para terrenos triangulares
Multiplica metade da base pela altura.
Problema 27
Dado um terreno com a forma de um trapézio rectângulo, com bases 30 bu e 42 bu, respectivamente e altura 64 bu. Diz: qual é a área?
Solução: 9 mu e 144 bu quadrados
Problema 28
Dado um outro terreno com a forma de um trapézio rectângulo, com bases 72 bu e 100 bu, respectivamente e altura 65 bu. Diz: qual é a área?
Solução: 23 mu e 70 bu quadrados
Regra para terrenos com a forma de trapézios rectangulares
Multiplica metade da soma das bases pela altura, ou metade da altura pela soma [das bases]; divide pelo número de bu [quadrados] por mu.
Problema 29
Agora dado um terreno com a forma de um trapézio, com bases 20 bu e 5 bu, respectivamente e altura 30 bu. Diz: qual é a área?
Solução: 1 mu e 135 bu quadrados
Problema 30
Dado outro terreno com a forma de um trapézio, com bases 117 bu e 50 bu, respectivamente e altura 135 bu. Diz: qual é a área?
Solução: 46 mu e 232 1/2 bu quadrados
Problema 31
Dado um terreno circular; o perímetro mede 30 bu e o diâmetro 10 bu. Diz: qual é a área?
Solução: 75 bu quadrados
Problema 32
Dado outro terreno circular; o perímetro mede 181 bu e o diâmetro 60 1/3 bu. Diz: qual é a área?
Solução: 11 mu e 90 1/12 bu quadrados
Regra para terrenos circulares
Multiplica metade do perímetro pelo raio dá a área do circulo em bu [quadrados].
Problema 37
Dado um terreno anular [em forma de coroa circular]; a circunferência de dentro e a de fora têm 92 bu e 122 bu, respectivamente. A largura é 5 bu. Diz: qual é a área?
Solução: 2 mu e 55 bu quadrados
Regra para terrenos anulares
Adiciona a circunferência de dentro e a de fora, depois parte ao meio; multiplicando pela largura dá o produto em bu [quadrados].
Capítulo II - Milho miúdo e arroz (Sumi)
Este capítulo contém 46 problemas, maior parte dos problemas são resolvidos utilizando a regra de três simples (Jinyou). Os 46 problemas podem ser classificados nos seguintes grupos:
Problemas 1 a 24 Conversão de uma certa quantidade de milho em diferentes tipos de cereais do mesmo valor, ou vice-versa
Problemas 25 a 31 Troca de diferentes tipos de cereais
Problemas 32 a 37
Descobrir o preço de um certo número de itens dado o preço total.
Problemas 38 a 43
Nestes problemas os itens estão divididos em duas classes e tem-se de descobrir o preço e o número e o número de itens conhecido o preço total.
Problemas 44 a 46
Nestes problemas descobre-se quantos itens custam uma moeda.
Problema 32
Agora, paga 160 moedas para comprar 18 tijolos.
Diz: Quanto é cada [tijolo]?
Solução: 8 8/9 moedas
Problema 33
Agora, paga 13 500 moedas para comprar 2350 bambus.
Diz: Quanto é cada bambu?
Solução: 5 35/47 moedas
Problema 35
Agora, paga 720 moedas para comprar 1 pi 2 zhang e 1 chi de seda fina. 1
Diz: Quanto é cada 1 zhang?
Solução: 1 zhang 118 2/61 moedas
Problema 38
Agora, paga 576 moedas para comprar 78 bambus. [Eles estão] classificados em finos e grossos.
Diz: Quanto é cada um deles custa?
Solução: 7 moedas por 48 [dos finos] e 8 moedas para os restantes 30.
Problema 45
Agora, paga 620 moedas para comprar 2100 setas. Elas estão classificadas em superiores e inferiores.
Diz: Quanto é cada [tipo] custa?
Solução:3 setas por moeda para 1140 de um tipo, 4 setas por moeda para as restantes 960 setas.
(citados por Shen Kangshen et al.)
Nota
1- 1 pi = 4 zhang = 40 chi
Capítulo III - Distribuição por proporções (Cuifen)
Este capítulo contém 20 problemas relativos à distribuição de dinheiro de acordo com certas regras, incluindo proporcionalidade directa, inversa e que conduzem, nalguns casos, a progressões aritméticas e geométricas.
Problema 1
Dados cinco oficiais de diferentes patentes: Dafu, Bugeng, Zanniao, Shangzao e Gongshi, caçaram 5 veados. Diz: Quanto é que cada um recebe, se o veado é distribuído consoante a sua patente?
Solução: Dafu obtém 1 2/3 do veado, Bugeng obtém 1 1/3 do veado, Zanniao obtém 1 veado, Shangzao obtém 2/3 do veado e Gongshi obtém 1/3 do veado.
Problema 2
Uma vaca, um cavalo e uma ovelha comeram a plantação de um terreno. O dono do terreno pede 5 dou de milho como recompensa. O pastor diz: “A minha ovelha como metade do que o cavalo come”. O dono do cavalo diz: “O meu cavalo come metade daquilo que a vaca come.” A recompensa deve ser paga de acordo com as razões. Diz: quanto é que cada um deve pagar?
Solução: O dono da vaca paga 2 dou 8 1/4 sheng, o dono do cavalo paga 1 dou e 4 2/7 sheng, e o da ovelha 7 1/2 sheng.
Problema 3
Três pessoas, que têm 560, 350 e 180 moedas, respectivamente, devem pagar uma taxa de um total 100 moedas proporcionalmente à sua riqueza. Quanto é que cada um paga?
Solução: O primeiro paga 51 41/109 moedas, o segundo 32 12/109 moedas e o terceiro 16 56/109 moedas.
(citados por Shen Kangshen et al.)
Problema 4
Uma tecedeira, melhorando a técnica de dia para dia, dobra todos os dias a quantidade produzida no dia anterior. Em cinco dias produz 5 chi 1 de tecido. Quanto é que produz num ano?
(citado por George Joseph)
Problema 5
Agora, dado que havia 8758 suan 2 no distrito norte, 7236 no distrito ocidental e 8356 no distrito sul. 378 trabalhadores devem ser recrutados dos três distritos. Diz: quantos devem ser recrutados de cada distrito se distribuídos de acordo com o número de suan?
Solução: O distrito do norte recruta 135 1163/12175 trabalhadores, o distrito ocidental 112 4004/12175 trabalhadores e o distrito sul 129 8709/12175 trabalhadores.
Problema 7
Dados 5 hu de milho para distribuir por cinco pessoas. Três deles devem receber 3 partes iguais e dois 2 partes iguais.
Diz: quanto é que cada um deve receber?
Solução: Três pessoas recebem 1 dou 5 5/13 sheng cada, duas pessoas recebem 7 dou 6 13/13 sheng cada.
Problema 10
Dado que 1 jin de seda custa 240 moedas.
Diz: dadas 1328 moedas, quantos jin de seda são comprados?4
Solução: 5 jing 8 liang 12 4/5 zhu.
Problema 11
Agora, dado 1 jin de seda custa 345 moedas.
Diz: dado 7 liang 12 zhu de seda, quanto é que custa?4
Solução: 16 23/32 moedas.
Problema 13
Dado que 1 pi de tecido custa 125 [moedas].
Diz: dados 2 zhang e 7 chi de tecido, quanto custa o tecido?3
Solução: 84 3/8 moedas.
Problema 14
Agora, dado que 1 pi e 1 zhang de seda branca custa 625 [moedas].
Diz: dadas 500 moedas, quanta seda branca se pode obter? 3
Solução: 1 pi
Problema 15
Agora, dado que 14 jin de seda é trocado por 10 jin de pano de seda fina.
Diz: dados 45 jin 8 liang de seda, quanto de pano de seda fina pode ser trocado?3
Solução: 32 jin 8 liang
Problema 18
Agora, dado um terreno de 1 mu, 6 2/3 de milho-miúdo é colectado como renda.
Diz: dados 1 qing 26 mu 156 bu de terreno, quanto milho-miúdo é colectado?5
Solução: 8 hu 4 dou 4 5/12 sheng
Problema 19
A um criado são pagas 2500 moedas por ano.
Diz: quanto dias deve ele trabalhar dado que são pagas antecipadamente 1200 moedas.
Solução: 169 23/25 dias.
Problema 20
Uma pessoa empresta 100 moedas a uma razão por mês de 30 moedas. Diz: se emprestar 750 moedas por 9 dias, quantas moedas recebe?
Solução: 6 3/4 moedas.
(citados por Shen Kangshen et al.)
Notas
1- 1 chi é aproximadamente 23 cm.
2- Suan era uma espécie de imposto anual, pago pelas pessoas do povo. Na dinastia Han (206 a.C. - 220 a.C.), cada pessoa entre os 15 e os 56 anos tinha de pagar 123 moedas de imposto anual.
3- 1 pi = 4 zhang = 40 chi
4- 1 jin = 16 liang, 1 liang = 24 zhu
5- 1 mu = 240 bu (quadrados), 1 qing = 100 mu
Capítulo IV - Largura pequena (Shao guang)
Este capítulo contém 24 problemas relativos à medição de terrenos. Shao, significa quanto e guang, largura. Os 24 problemas podem se dividir nos seguintes três grupos:
Problemas 1 a 11
Problemas relativo à largura de campos dada a sua área.
Problemas 12 a 18
Problemas que envolvem a extracção da raiz quadrada, incluindo problemas relativos à determinação do perímetro do círculo dada a área
Problemas 19 a 24
Problemas que envolvem a extracção da raiz cúbica, incluindo problemas relativos à determinação do diâmetro de uma esfera conhecendo o seu volume.
Problema 1
Dado um campo [rectangular] cuja largura é 1 ½ bu. É sabido que a área do campo é 1 mu.
Diz: qual é o comprimento?1
Solução: 160 bu
Problema 2
Agora, dado um campo [rectangular] cuja largura é 1 ½ bu e 1/3. É sabido que a área do campo é 1 mu.
Diz: qual é o comprimento?1
Solução: 130 10/11 bu
(citados por Shen Kangshen et al.)
Problema 11
Dado um campo de largura a soma de 1, ½, 1/3, ¼, 1/5, 1/6, 1/7, 1/8, 1/9, 1/10, 1/11 e 1/12 bu. É sabido que a área do campo é 1 mu.
Qual é o comprimento do campo? 1
(citado por Frank Swetz)
Problema 12
Agora, dada uma área de 55 225 bu [quadrados].
Diz: qual é o valor do lado do quadrado? 1
Solução: 235 bu
Problema 13
Dada de novo uma área de 25 281 bu [quadrados].
Diz: qual é o valor do lado do quadrado? 1
Solução: 159 bu
Problema 16
Dada de novo uma área de 3 972 150 625 bu [quadrados].
Diz: qual é o valor do lado do quadrado? 1
Solução: 159 bu
Problema 17
Dado um campo circular de 1518¾ bu [quadrados].
Diz: qual é o perímetro? 1
Solução: 135 bu
Problema 18
De novo dado um campo circular de 300 bu [quadrados].
Diz: qual é o perímetro? 1
Solução: 60 bu
Problema 19
Agora, dado um volume 1 860 867 chi [cúbico].
Diz: qual é o lado do cubo? 2
Solução: 123 chi
Problema 20
Agora, dado um volume 1953 1/8 chi [cúbico].
Diz: qual é o lado do cubo? 2
Solução: 12 1/2 chi
Problema 23
Agora, dado um volume de 45 004 chi.
Diz: qual é o diâmetro da esfera? 2
Solução: 20 chi
(citados por Shen Kangshen et al.)
Notas
1- 1 mu = 240 bu (quadrados), 1 qing = 100 mu
2- 1 chi é aproximadamente 23 cm.
Capítulo V - Consultas sobre construções (Shanggong)
Este capítulo contém 28 problemas relativos ao volume de diferentes sólidos e sobre o número de trabalhadores necessários para determinados trabalhos.
Problema 1
Dada uma escavação de 10 000 chi 1 [cúbicos] de lama. Diz: quanto de barro e de terra arável provém dela? 2
Solução: barro 7500 chi [cúbicos]; terra arável 12 500 chi [cúbicos]
Regra para construir uma muralha de cidade, muro, dique, vala, fosso e canal
Adiciona as largura de cima e de baixo, depois parte ao meio, multiplica pela altura ou profundidade, depois multiplica pelo comprimento, dando o volume.
Problema 2
Uma muralha de uma cidade com a largura de baixo de 4 zhang e a de cima de 2 zhang, uma altura de 5 zhang e um comprimento de 126 zhang e 5 chi.
Diz: qual é o volume? 4
Solução: 1 897 500 chi [cúbicos].
Problema 4
Um dique com uma largura inferior de 2 zhang e uma superior de 8 chi, uma altura de 4 chi e um comprimento de 12 zhang e 7 chi.
Diz: qual é o volume? 4
Solução: 7112 chi [cúbicos].
Cada trabalhador tem uma cota de Inverno pelo seu trabalho de 444 chi [cúbicos]. Diz quantos trabalhadores são precisos?
Solução: 6 2/111 trabalhadores.
Problema 5
Uma vala com uma largura superior de 1 zhang e 5 chi, uma largura inferior de 1 zhang, uma profundidade de 5 chi e um comprimento de 7 zhang.
Diz: qual é o volume? 4
Solução: 4375 chi [cúbicos].
Cada trabalhador tem uma cota de Primavera pelo seu trabalho de 766 chi [cúbicos], um quinto do qual é para o transporte. A cota real para um trabalhador deve ser de 612 4/5 chi [cúbicos].
Diz quantos trabalhadores são precisos?
Solução: 7 427/3064 trabalhadores.
Problema 8
Um forte quadrado de lado 1 zhang e 6 chi e de altura 1 zhang e 5 chi.
Diz: qual é o volume? 4
Solução: 3840 chi [cúbicos].
Problema 9
Um forte circular com um perímetro de 4 zhang e 8 chi e uma altura de 1 zhang e 1 chi.
Diz: qual é o volume? 4
Solução: 2112 chi [cúbicos].
Regra [para construir um forte circular]
Quadra o perímetro, multiplica pela altura e divide por 12.
Problema 10
Dado um tronco de pirâmide, com uma secção inferior de 5 zhang quadrados e uma secção superior de 4 zhang quadrados e uma altura de 5 zhang.
Diz: qual é o volume? 4
Solução: 101666 2/3chi [cúbicos].
Regra [para um tronco de pirâmide]
Multiplica o lado do quadrado superior pelo do inferior. Quadra cada um deles e adiciona [os produtos]. Multiplica [a soma] pela altura e divide por 3.
Problema 11
Agora, dado um troco de cone com o perímetro do círculo inferior de 3 zhang , e o perímetro do círculo superior de 2 zhang e uma altura de 1 zhang .
Diz: qual é o seu volume? 4
Solução: 527 7/9 chi [cúbicos].
Regra [para um tronco de cone]
Multiplica o perímetro do círculo superior pelo do inferior. Quadra cada um deles e adiciona [os produtos]. Multiplica [a soma] pela altura e divide por 36.
Problema 12
Dada uma pirâmide, com a base 2 zhang e 7 chi quadrados e uma altura de 2 zhang e 9 chi.
Diz: qual é o volume? 4
Solução: 7047 chi [cúbicos].
Regra [para uma pirâmide]
Quadra o lado, multiplica pela altura, divide por 3.
Problema 13
Agora, dado um cone circular, cujo perímetro da base é 3 zhang e 5 chi e uma altura de 5 zhang e 1 chi.
Diz: qual é o volume?
Solução: 1735 5/12 chi [cúbicos].
Regra [para um cone circular]
Quadra o perímetro da base, multiplica pela altura, divide por 36.
Problema 14
Dado um qiandu [prisma triangular recto] com uma largura inferior de 2 zhang, um comprimento de 18 zhang e 6 chi e uma altura de 2 zhang e 5 chi.
Diz: qual é o volume?
Solução: 46 500 chi [cúbicos].
Regra [para um qiandu]
Multiplica a largura pelo comprimento, depois multiplica pela altura e divide por 2.
Regra [para uma pilha de cereais]
Quadra o perímetro do círculo da base, multiplica pela altura, e divide por 36. Se encostada a uma parede, divide por 18. Se num canto, divide por 9.
Problema 23
Dada uma pilha de milho-miúdo encostada a uma parede, com o perímetro da base de 12 zhang e uma altura de 2 chi.
Diz: qual é o volume? Quantos hu de milho-miúdo existem?
Solução: O volume é 8000 chi [cúbicos]. Existem 2962 26/27 hu de milho-miúdo.
Problema 24
Dada uma pilha de grãos de soja encostada a uma parede, com a circunferência da base de 3 zhang e uma altura de 7 chi.
Diz: qual é o volume? Quantos hu de grãos existem?
Solução: O volume é 350 chi [cúbicos]. Existem 144 8/243 hu de grãos.
Problema 25
Dada uma pilha de arroz encostada a um canto de uma parede, com a circunferência da base de 8 chi e uma altura de 5 chi.
Diz: qual é o volume? Quantos hu de arroz existem?
Solução: O volume é 35 5/9 chi [cúbicos]. Existem 21 691/729 hu de arroz.
(citados por Shen Kangshen et al.)
Notas
1- 1 chi é aproximadamente 23 cm.
2- De uma escavação de 4 mud 3, provém 5 de terra arável e 3 de barro e cavidade de 4.
3- 1 mu = 240 bu (quadrados), 1 qing = 100 mu
4- 1 pi = 4 zhang = 40 chi
Capítulo VI - Impostos justos (Junshu)
Este capítulo contém 28 problemas relativos ao cálculo de como distribuir o cereal e o trabalho, taxas a distribuir a diferentes sectores da população e questões sobre percursos onde são aplicadas as noções de proporção (directa e inversa).
Problema 1
A tarefa de transportar o milho dos impostos é distribuída por quatro "países". O país A, está a 8 dias do serviço central de impostos e tem 10 000 famílias; o país B está a 10 dias do serviço e tem 9500 famílias; o país C, a 13 dias do serviço e tem 12 350 famílias; o país D a 20 dias do serviço e tem 12 200 famílias. O milho total dos impostos é de 250 000 hu, necessitando 10 000 carroças. Assuma que a tarefa deve ser distribuída de acordo com a distância do serviço de impostos e do com o número de famílias. Diz: que quantidade de milho deve cada país transportar? Quantos carroças é que cada país utiliza?
Solução: O país A transporta 83 100 hu de milho, utilizando 3324 carroças; o país B, 63 175 hu de milho, 2527 carroças; o país C, 63 175 hu de milho, 2527 carroças; o país D, 40 550 hu de milho e 1622 carroças.
Problema 2
O dever de guardar a fronteira é distribuído por 5 países. O país A é perto da fronteira, e tem 1200 adultos; o país B está a 1 dia da fronteira, com 1550 adultos; país C a 2 dias de distância, com 1280 adultos; o país
Solução: 1 897 500 chi [cúbicos].
Problema 5
Dados 7 dou de milho miúdo 1, que é debulhado por três pessoas. A prepara milho debulhado 1, B milho moído 1 e C milho moído 1 de qualidade superior. Assuma que preparam a mesma quantidade. Diz: quanto milho miúdo 1 é que cada um tira e quanto milho miúdo 1 é que cada um prepara?
Solução: O preparador de milho debulhado tira 2+10/121 dou de milho, o preparador de milho moído 2+38/121 dou de milho e o preparador de milho moído de alta qualidade 2+73/121. O milho preparado por cada um é 1+151/605.
Problema 7
Um trabalhador é contratado para carregar 2 hu de sal. Por 100 li obtém 40 moedas. Assuma que ele carrega 1 hu 7 dou e 3 1/3 sheng de sal por 80 li. Diz: quanto é que ele irá receber?
Solução: 27+11/15 moedas.
Problema 9
Alguém transporta provisões entre dois locais. Uma carroça sem carga viaja a 70 li por dia e uma com carga a 50 li por dia. Transportando milho miúdo do Celeiro Nacional (Taicang) para Shanglin, fazem-se 3 viagens de ida e volta em 5 dias, Qual é a distância entre os dois locais?
Solução: 47+11/18 li.
Problema 10
1 jin de seda crua fazem 12 liang de seda fervida, e 1 jin de seda fervida fazem 1 jin e 12 zhu de seda tingida. Supondo 1 jin de seda tingida. Diz: que quantidade de seda crua é necessária? 2
Solução: 1 jin 4 liang 16+ 16/33 zhu
Problema 12
Um bom caminhante cobre 100 bu, enquanto que um mau caminhante 60 bu. Suponha que o último vai à frente do primeiro 100 bu e que este o apanha. Diz: em quantos bu irão os dois lado a lado?
Solução: 250 bu
Nota: Este é o problema mais antigo que se conhece deste tipo, o qual foi introduzido na Europa pelos Árabes e foi muito popular entre os séculos XII e XV.
Problema 13
Um mau caminhante vai à frente 10 li. Um bom caminhante persegue-o durante 100 li . E fica à frente do mau caminhante em 20 li . Diz: em quantos li é que o bom caminhante apanha o mau caminhante?
Solução: 33+1/3 li.
(citados por Shen Kangshen et al.)
Problema 14
Uma lebre corre 100 bu à frente de um cão. O cão persegue a lebre durante 250 bu, mas a lebre ainda está 30 bu à sua frente. Em quantos bu o cão apanhará a lebre?
Solução: 107+1/7 bu
(citado por George Joseph)
Problema 15
Uma pessoa, passando por uma “alfândega” com 12 jin de ouro, paga uma taxa de 10%. O alfandegário tira 2 jin de ouro e dá de volta 5000 moedas. Diz: qual é o preço do ouro por jin?
Solução: 6250
Problema 16
Um convidado que cavalga a 300 li por dia. O convidado deixa as suas roupas para trás. O dono da casa descobre-as após 1/3 de dia, e saí com as roupas. Assim que alcança o convidado, o dono da casa dá-lhe as suas roupas e regressa a casa em ¾ de dia. Supondo que cavalga sem parar. Diz: quanto é que ele consegue andar num dia? 3
Solução: 780 li
Problema 18
Cinco pessoas devem partilhar 5 moedas. De tal forma que a soma das duas [partes] maiores seja igual às das três menores. Diz: quanto é que cada um recebe?
Solução: A recebe 1+2/6 moedas, B recebe 1+1/6 moedas, C recebe 1 moeda, D recebe 1+5/6 moedas, E recebe 4/6 moedas.
Problema 19
Um bambu tem 9 compartimentos, a capacidade dos três de baixo é 4 sheng e a dos de cima é 3 sheng. Supondo que a capacidade dos compartimentos decresce uniformemente de baixo para cima. Diz: qual é a capacidade de cada um?
Solução: O compartimento de baixo tem 1+29/66 sheng; o seguinte 1+22/66 sheng; o terceiro 1+15/66 sheng; o quarto 1+8/66 sheng; o quinto 1+1/66 sheng; o sexto 60/66 sheng; o de cima 39/66 sheng.
Problema 20
Um pato selvagem voa do mar do sul para o mar do norte em 7 dias e um ganso selvagem voa do mar do norte para o mar do sul em 9 dias. Suponha que as duas aves partem ao mesmo tempo. Diz: quando é que se encontrarão?
Solução: 3+15/16 dias
Problema 21
A parte de Chang’na para Qi levando 5 dias. B parte de Qi para Chang’na levando 7 dias. Supondo que B parte 2 dias antes de A. Diz: quando é que se encontrarão?
Solução: 2+1/12 dias
Problema 24
Alguém aluga terra. No primeiro ano paga 1 moeda por 3 mu. No segundo ano paga 1 moeda por 4 mu. No terceiro ano paga 1 uma moeda por 5 mu. Supondo que paga um total de 100 moedas nos três anos. Diz: quantos mu de terra [é que aluga]?
Solução: 5 qing e 27+31/47 mu.
Problema 25
Uma pessoa escava 7 mu, lavra 3 mu e semeia 5 mu num dia. Suponha que uma pessoa escava, lavra e semeia num dia. Diz: quantos mu são tratados.
Solução:10 mu 114+66/71 bu quadrados.
(citados por Shen Kangshen et al.)
Problema 26
Um reservatório tem cinco canais que o enchem de água. Quando, apenas, o primeiro está aberto, o reservatório enche-se em 1/3 de um dia. O segundo canal enche o reservatório num dia, o terceiro canal em 2 1/2, o quarto em 3 dias e o quinto em 5 dias. Se se abrirem todos os canais, quanto tempo levará a encher o reservatório?
Solução: Em 15/74 dias
Nota: Este é o problema mais antigo que se conhece deste tipo, nesta versão. Versões semelhantes deste problema aparecem mais tarde na Grécia, na Índia e nos textos matemáticos Ocidentais.
Para compreender a evolução ao longo da história e qual a verdadeira origem do problema veja "Torneiras".
Problema 27
Um homem carrega arroz numa viagem. Passa por três alfândegas. Na primeira dá 1/3 do seu arroz, na segunda 1/5 do que sobrou, e na terceira, 1/7 do que sobrou. Depois de passar pelas três alfândegas, sobraram-lhe 5 dou de arroz. Que quantidade de arroz é que ele tinha ao início?
Solução:10 dou 9+3/8 sheng
(citados por Victor Katz)
Problema 28
Uma pessoa transporta ouro por cinco alfândegas. Na primeira alfândega paga um imposto de uma parte em 2. Na segunda alfândega, uma parte em 3; na terceira, uma parte em 4; na quarta, uma parte em 5; e na quinta, uma parte em 6. Suponha que a taxa total destas cinco alfândegas é apenas 1 jin. Diz: que quantidade de ouro carregava inicialmente?
Solução:1 jin 3 liang 4+4/5 zhu 2
Nota: Diferentes versões destes dois últimos problemas aparecerem em diferentes fontes de diferentes civilizações. Para ter acesso a estas veja "Maria e as maçãs".
Notas
1- 5 partes de milho miúdo = 3 partes de milho debulhado
50 partes de milho miúdo = 27 partes de milho moído
25 partes de milho miúdo = 12 partes de milho moído de qualidade superior.
2- 1 jin = 16 liang, 1 liang = 24 zhu
3- Na China antigas o dia começava às 5 horas da manhã e terminava às 17 horas, havendo 12 horas num dia.
Capítulo VII - Excesso e défice (Ying buzu)
Este capítulo contém 20 problemas que, à excepção de um deles, conduzem a equações lineares resolvidas pelo método da falsa posição ou da dupla falsa posição. Este capítulo pode ser dividido em duas partes. Na primeira parte apresentam-se oito problemas que discutem os diferentes casos da regra da dupla falsa posição, nos restantes 12 problemas aplica-se esta regra:
Problema 10, 11, 12 e 19
problemas de viagens, que relacionam entre distâncias, velocidades e o tempo com que os corpos se movem, ao contrário dos problemas deste tipo do capítulo VI (em que as velocidades são constantes) aqui, nalguns dos problemas as velocidades variam.
Problemas 13, 17 e 20
problemas comerciais.
Problema 9, 14, 15, 16 e 18
outro tipo de problemas.
Problema 1
Várias pessoas compram em conjunto um objecto. Se cada pessoa contribuir com 8 moedas, sobram 3; se cada pessoas pagar 7, faltam 4. Quantas pessoas eram e qual era o preço do objecto?
Solução: 7 pessoas, preço do objecto 53.
(citado por Shen Kangshen et al.)
Problema 2
Várias pessoas compram em conjunto galinhas. Se cada pessoa der 9 wen, sobrarão depois da compra 11 wen . Se, no entanto, cada pessoa contribuir com apenas 6 wen, faltarão 16 wen. Quantas pessoas eram e qual era o preço de cada galinha?
Solução: 9 pessoas, preço de cada galinha 70.
(citado por George Joseph)
Problema 5
Agora várias pessoas compram ouro; cada um contribuí com 400, sobram 3400; cada um contribuí com 300, sobram 100. Diz: o número de pessoas, o preço do ouro, quanto é cada?
Solução: 33 pessoas, preço do ouro 9800.
Problema 8
Agora várias pessoas compram cães; cada um contribuí com 5, faltam 90; cada um contribuí com 50, é exactamente o suficiente. Diz: o número de pessoas, o preço do cão, quanto é cada?
Solução: 2 pessoas, preço do cão 100.
(citados por Shen Kangshen et al.)
Problema 9
Se uma cuba com uma capacidade de 10 dou contém uma certa quantidade de arroz debulhado (sem casca). São adicionados grãos de arroz (com casca) até encher a cuba. Quando o arroz é debulhado descobre-se que a cuba contém ao todo 7 dou de arroz debulhado. Descubra a quantidade de arroz que estava inicialmente na cuba.
Solução: 2 dou e 5 sheng.
(citado por George Joseph)
Problema 10
Há um muro de 9 chi de altura. É plantada uma planta em cima, o caule cresce-se para baixo 7 cun por dia. É plantada uma planta em baixo o caule cresce-se para cima 1 chi por dia. Diz: o número de dias em que se encontram e quanto é que cada uma das plantas cresce?
Solução: 5+5/17 dias, a planta de cima cresce 3 chi 7+1/17 cun; a de baixo cresce 5 chi 2+16/17 cun
Problema 11
O junco cresce 3 chi no primeiro dia, a cana cresce 1 chi no primeiro dia. Todos os dias o junco cresce metade do que cresceu no dia anterior; a cana, todos os dias, duplica o seu crescimento. Diz: o número de dias até que as suas alturas sejam iguais.
Solução: 2+6/13 dias, cada um terá 4 chi 8+6/13 cun de comprimento.
Problema 12
Há uma parede com 5 chi de espessura, duas ratazanas escavam de lados opostos o túnel. No primeiro dia a ratazana grande escava 1 chi, a pequena, também, escava 1 chi. A ratazana grande duplica, diariamente, o que escava, a pequena reduz, diariamente, a metade o que escava. Diz: o número de dias até que as duas ratazanas se encontrem. As distâncias escavadas pelas duas.
Solução: 2+6/13 dias, cada um terá 4 chi 8+6/13 cun de comprimento.
Problema 13
Agora 1 dou de uma bebida espirituosa custa 50 moedas; 1 dou de vinho custa 10 moedas. Agora 2 dou de licor é obtido por 30 moedas. Diz: quanto de bebida espirituosa e de vinho se obtém?
Solução: bebida espirituosa 2+1/2 sheng; vinho 1 dou e 7+1/2 sheng.
Problema 14
Cinco contentores grande e 1 pequeno têm uma capacidade [total] de 3 hu; 1 contentor grande e 5 pequenos têm uma capacidade de 2 hu. Diz: os contentores grandes e os pequenos: qual é a capacidade de cada um?
Solução: O contentor grande leva 13/24 hu; e cada pequeno 7/24 hu.
Problema 17
O preço de 1 mu de terreno bom é 300 moedas; o preço de 7 mu de terreno mau é 500. Uma pessoa compra 1 qing; o preço foi 10000 moedas. Diz: que quantidade de terreno bom e mau comprou? 1
Solução: O terreno bom 12+1/2 mu, terreno mau 87+1/2 mu.
Problema 18
Agora existem 9 peças de ouro, e 11 peças de prata pesando o mesmo. Uma das peças é trocada e o conjunto fica 13 liang mais leve. Diz: qual é o peso de cada peça de prata e ouro?2
Solução: O ouro pesa 2 jin 3 liang e 18 zhu; a prata pesa 1 jin 13 liang e 6 zhu .
Problema 19
Dois cavalos, um bom e um mau, partem de Chang'an para Qi. A distância entre Chang'an e Qi é de 3000 li. O cavalo bom avança no primeiro dia 193 li, e nos dias seguintes, aumenta por dia o seu percurso 13 li. O cavalo mau avança 97 li no primeiro dia e diminui de seguida o seu percurso em meio li por dia. O cavalo bom chega primeiro a Qi depois volta pelo mesmo caminho e encontra o cavalo mau. Diz: ao fim de quantos dias os dois cavalos se reencontram e que distância é que cada um deles percorreu ?
Solução: 15+135/191 dias até se encontrarem, o cavalo bom viajou 4534+46/191 li e o cavalo mau viajou 1465+145/191 li
Problema 20
Um homem de negócios investiu dinheiro em Shu.’Os juros eram 10 : 3 [ou seja, 30%]. Ele levantou 14 000 da primeira vez; 13 000 da vez seguinte; 11 000 da vez seguinte; 10 000 da última vez. Depois dos 5 levantamentos, o capital que investiu e os juros esgotaram. Diz: o capital e os juros, quanto é cada um?
Solução: Capital 30468+84876/371293 moedas, juros 29531+286417/371293
(citados por Shen Kangshen et al.)
Notas
1- 1qing = 100 mu.
2- 1 jin = 16 liang, 1 liang = 24 zhu
Capítulo VIII - Tabelas rectangulares (Fang cheng)
Este capítulo contém 18 problemas que conduzem a sistemas de equações lineares. O processo de resolução destes sistemas é semelhante à resolução de sistemas por matrizes.
Neste capítulo são utilizados os número negativos e são estabelecidas as regras para operar com estes.
Problema 1
A ceifa de 3 molhos de cereal superior, 2 molhos de cereal médio e um molho de cereal inferior é 39 cestos. A ceifa (de outro campo) de 2 molhos de cereal superior, 3 molhos de cereal médio e 1 molho de cereal inferior é 34 cestos. (De um terceiro campo) a ceifa de 1 molho de cereal superior, 2 molhos de cereal médio e 3 molhos de cereal inferior é 26 cestos. Qual é a ceifa de cereal superior, médio e inferior?
Problema 3
A ceifa de 2 molhos de cereal superior, 3 molhos de cereal médio e 4 molho do pior cereal não são suficientes para fazer um cesto inteiro. Se juntarmos aos 2 molhos de cereal superior 1 molho de cereal médio, aos 3 molhos de cereal médio 1 molho do cereal e aos 4 molhos do pior cereal 1 molho do melhor, então cada ceifa é de exactamente um cesto. Quantos cestos é que cada um dos molhos dos três tipos de cereal contém?
Problema 7
Cinco vacas e 2 ovelhas custam 2 liang de prata, 2 vacas e 5 ovelhas custam 8 liang de prata. Diz: qual é o preço, respectivamente, de uma vaca e de uma ovelha?
Solução: Uma vaca custa 1+13/21 liang de prata; uma ovelha custa 20/21 liang de prata.
Problema 8
Agora vende 2 vacas e 5 ovelhas, para comprar 13 porcos. Sobram 1000 dinheiros. Vende 3 vacas e 3 porcos para comprar 9 ovelhas. O dinheiro é o suficiente. Vende 6 ovelhas e 8 porcos. Depois compra 5 vacas. Existe um défice de 600 moedas. Diz: qual é o preço de uma vaca, ovelha e porco, respectivamente?
Solução: preço das vacas 1200; preço das ovelhas 500, preço dos porcos 300.
Problema 9
Há 5 pardais e 6 andorinhas. Pese-as. Os pardais são mais pesados e as andorinhas mais leves. Troque um pardal por uma andorinha. O seu peso é exactamente o mesmo. Os pardais e as andorinhas pesam, ao todo, 1 jun. Diz: 1 pardal e 1 andorinha. Quanto é que cada uma pesa?
Solução: peso dos pardais 1+13/19 liang. Peso das andorinhas 1+5/19 liang.
Problema 10
Há 2 pessoas A e B. Cada uma tem uma quantidade desconhecida de moedas. A obtém ½ das de B, então fica com 50 moedas. B obtém 1/3 das moedas de A, então fica, também, com 50 moedas. Diz: qual a quantidade de moedas que cada um deles tem?
Solução: A tem 37+1/2 moedas, e B tem 25 moedas.
Problema 11
Há 2 cavalos e uma vaca. O se preço excede por 10000 o preço de meio cavalo. O preço de 1 cavalo e 2 vacas é o preço de ½ vaca menos 10000. Diz: o preço de cada um, vaca e cavalo.
Solução: Preço do cavalo 5454+6/11 moedas, preço das vacas 1818+2/11 moedas.
(citados por Shen Kangshen et al.)
Capítulo IX - Triângulos rectângulos (Gougu)
Este capítulo contém 24 problemas relativos a triângulos rectângulos. Dentre estes 14 dizem respeito à aplicação da regra Gougu, versão chinesa do teorema de Pitágoras.
Regra Gougu
Adiciona o quadrado do gou e do gu, tira a raiz quadrada [da soma] dando a xian [hipotenusa].
A regra é equivalente ao teorema de Pitágoras, onde gou corresponde, normalmente, ao cateto menor do triângulo rectângulo e gu o maior.
Considerando a = gou, b = gu e c a hipotenusa, neste capítulo encontram-se vários problemas que conduzem às seguintes situações diferentes:
Problemas 1 e 5
dados a e b, descobrir c
Problemas 2, 3 e 4
dados b e c, descobrir a
Problemas 6 a 10
dados a e c - b, descobrir b e c
Problema 11
dados c e b - a, descobrir a e b
Problema 12
dados c - a e c - b, descobrir a, b e c
Problema 13
dados a e b + b, descobrir b e c
Neste capítulo ainda se encontram problemas relacionados com a semelhança de triângulos rectângulos e com os triplos pitagóricos:
Problema 15 e 16
relacionados com um triângulo rectângulo inscrito num quadrado e circunscrito a uma circunferência
Problemas 17 a 20 e 22 a 24
relacionados com agrimensura
Problema 14 e 21
Os números Gougu (triplos pitagóricos)
Capítulo IX - Triângulos rectângulos (Gougu)
Os 14 problemas deste capítulo dizem respeito à aplicação da regra Gougu, versão chinesa do teorema de Pitágoras.
Nota: Para conhecer a história de problemas envolvendo o teorema de Pitágoras consulte a página Problemas Pitagóricos.
Problema 1
Dado um triângulo rectângulo, os comprimentos dos seus gou e gu são, respectivamente, 3 chi e 4 chi. Diz: qual é o comprimento da sua hipotenusa?
Solução: 5 chi
Problema 2
Dado um triângulo rectângulo, os comprimentos da sua hipotenusa e do seu gou são, respectivamente, 5 chi e 3 chi. Diz: qual é o comprimento do seu gu?
Solução: 4 chi
Problema 3
Dado um triângulo rectângulo, os comprimentos do seu gu e hipotenusa são, respectivamente, 4 chi e 5 chi. Diz: qual é o comprimento do seu gou?
Solução: 3 chi
Problema 4
Um tronco circular de 2 chi e 5 cun de diâmetro. Suponha que é transformado numa tábua rectangular de 7 cun de espessura. Diz: qual é a sua largura?1
Solução: 2 chi e 4 cun
(citados por Shen Kangshen et al.)
Problema 5
Uma árvore de 2 zhang de altura tem perímetro de 3 chi. Existe uma videira que se enrola sete vezes à volta da árvore e chega ao topo da árvore. Qual é o comprimento da videira?1
Solução: 2 zhang e 9 chi.
(citado por George Joseph)
Problema 6
Dada uma cana no centro de um pequeno lago quadrado de 1 zhang de lado, a qual está 1 chi acima da água. Quando é puxada para a margem, a sua parte de cima fica rente à tona da água. Diz: qual é a profundidade de água e o comprimento da cana.1
Solução: A água tem 1zhang e 2 chi de profundidade e a cana 1zhang e 3 chi de comprimento.
(citado por Shen Kangshen et al.)
Problema 7
Há uma corda pendurada do topo de uma árvore com 3 chi desta caídos no chão. Quando é esticada, de tal forma que a sua ponta toca o chão, chega a uma distância de 8 chi da base da árvore. Qual é o comprimento da corda?1
Solução: 1zhang e 2+1/6 chi .
(citado por George Joseph)
Problema 8
A altura de uma parede é 1 zhang. Uma vara de comprimento desconhecido está apoiada na parede, de tal forma que o seu topo coincide com o topo da parede. Se a parte debaixo da vara for afastada da parede mais 1 chi, a vara cairá no chão. Qual é a altura da vara?1
Solução: 5zhang e 5 cun .
(citado por Frank Swetz)
Problema 10
Dado um portão, parcialmente aberto, está a uma distância de 1 chi da entrada. Há um espaço de 2 cun entre as duas portas do portão. Diz: qual é a largura do portão? 1
Solução: 1 zhang e 1 cun.
(citado por Shen Kangshen et al.)
Problema 11
A altura de uma porta é 6 chi e 8 cun mais larga do que a largura. A diagonal é 1 chih. Quais são as dimensões da porta? 1
Solução: A largura é 2 chi e 8 cun e a altura 9 chi e 6 cun.
(citado por George Joseph)
Problema 12
Agora dada uma porta, cuja altura e largura são desconhecidas, e uma vara de bambu de comprimento desconhecido. A vara de bambu é 4 chi mais comprida do que a largura da porta e 8 chi mais comprida do que a altura, e tão comprida como a diagonal. Diz: qual é a altura, a largura e a diagonal da porta? 1
Solução: A largura é 6 chi , a altura é 8 chi e a diagonal 1 zhang.
(citado por Shen Kangshen et al.)
Problema 13
Há um bambu com 1 zhang de altura, partiu-se e a parte de cima toca o chão a 3 chih da base do bambu. Qual é a altura da quebra?1
Solução: 4+11/20 chi
(citado por George Joseph)
Notas:
1- 1 chih = 10 cun, 1 zhang = 10 chih
Problema 14
Dois homens estão no mesmo sítio. A e B movem-se às razões de 7 e 3, respectivamente. B caminha para leste. A caminha 10 bu para sul, depois caminha para nordeste, até que os dois homens se encontram. Diz: Qual a distância percorrida por cada um?
Solução: B caminha 10+1/2 bu para lesta e A caminha 14+1/2 bu diagonalmente para ir ao encontro do outro.
Problema 15
Um ângulo recto cujo gou e o gu são 5 bu e 12 bu, respectivamente. Diz: Qual é o lado do quadrado inscrito?
Solução: O lado é 3+9/17 bu
(citados por Shen Kangshen et al.)
Problema 16
Um ângulo recto tem de lado 8 bu e 15 bu. Qual é o diâmetro do círculo inscrito?
Solução: 6 bu
(citado por Frank Swetz)
Problema 17
Dada uma cidade com 200 bu quadrados, com portões abertos no meio de cada lado. A 15 bu do portão a este está uma árvore. Diz: a quantos bu do portão sul poderá alguém ver a árvore?
Solução: 666+2/3 bu.
Problema 18
Agora uma cidade que tem 7 li de este para oeste, 9 li de sul para norte, com portões abertos no meio de cada lado. Há uma árvore a 15 li do portão este. Diz: a quantos bu do portão sul poderá alguém ver a árvore?
Solução: 315 bu.
Problema 19
Agora dada uma cidade quadrada para ser medida. Tem portões abertos no meio dos lados. A 30 bu do portão norte há uma árvore. A 750 bu do portão este pode-se ver a árvore. Diz: qual é o comprimento de cada lado?
Solução: 1 li.
Problema 20
Uma cidade é cercada por uma muralha de dimensões desconhecidas, tem quatro portas, uma porta ao meio de cada lado da muralha. Uma árvore encontra-se a 20 pu da porta norte [no exterior da vila]. Tem de se andar 14 pu a partir da porta sul seguindo 177 pu para oeste até se conseguir ver a árvore. Quais são as dimensões da muralha da cidade?
Solução: 250 bu.
Problema 21
Agora dada uma cidade com 10 li quadrados, com portões no meio de cada lado. Tanto A como B partem do centro da cidade. B caminha
Solução: 250 bu.
Problema 23
Agora a ocidente de uma árvore há uma montanha cuja altura é desconhecida. A distância entre a árvore e a montanha é 53 li e a árvore tem de altura 9 zhang e 5 chi. Uma pessoa que está para leste da árvore a 3 li desta, vê que o cume da montanha e o topo da árvore estão alinhados. Suponha que os seus olhos estão a uma altura de 7 chi. Diz: qual é a altura da montanha?
Solução: 164 zhang, 9 chi e 6+2/3 cun.
Problema 24
Agora um poço com 5 chi de diâmetro de profundidade desconhecida. Coloque uma vara de 5 chi na abertura do poço. Quando se olha para baixo da extremidade da vara para a superfície da água do poço, a linha de visão corta o diâmetro 4 cun. Diz: qual é a profundidade do poço?
Solução: 5 zhang, 7 chi e 5 cun.
